Klasikèc jèseic kurt n swmˆtwn

Transcript

1 Klasikèc jèseic kurt swmˆtw Didaktorik Diatrib Eleujèrioc MarkesÐhc Tm ma Majhmatik Paepist mio Ajh Aj a 2015

2

3 Eishght c: Apìstoloc Giaìpouloc

4

5 Perieqìmea Πρόλογος vii 1 Βασικές έννοιες Κυρτά σώματα αʹ Βασικές ανισότητες βʹ Μεικτοί όγκοι γʹ Αριθμοί κάλυψης Χώροι πεπερασμένης διάστασης με νόρμα αʹ Η l-θέση και η ανισότητα του Pisier βʹ M-θέση Ισοτροπική θέση ενός κυρτού σώματος Αποτελέσματα της διατριβής Κλασικές θέσεις κυρτών σωμάτων αʹ Η θέση Joh και η θέση Löwer βʹ Θέση ελάχιστου μέσου πλάτους γʹ Θέση ελάχιστης επιφάνειας δʹ Αντίστροφη ισοπεριμετρική ανισότητα Αποτελέσματα της διατριβής Σύγκριση της Μ-θέσης με τις κλασικές θέσεις Ισοτροπική θέση και η βασική ιδέα Θέση ελάχιστης επιφάνειας Θέση ελάχιστου μέσου πλάτους Θέσεις Joh και Löwer

6 vi Περιεχομενα 4 Θέση ελάχιστης επιφάνειας Προβολές σε υπερεπίπεδα Μέσο πλάτος στη θέση ελάχιστης επιφάνειας Απόσταση Schatte Φράγματα για την απόσταση Schatte αʹ d tr (K (i), K) και d tr (K, K (i) ) βʹ d tr (K, K (s) ) και d tr (K (s), K) γʹ d tr (K (w), K) και d tr (K, K (w) ) δʹ d tr (K (j), K) και d tr (K, K (j) ) εʹ d tr (K (l), K) και d tr (K, K (l) ) Άνω φράγματα για την d tr (K (x), K (y) ) Παραδείγματα και ερωτήματα αʹ Φράγματα για το I 2 (K (x) ) βʹ Κάτω φράγματα για την D tr (K (x), K (i) ) γʹ Παρατηρήσεις για τις r(k (x) ) και R(K (x) ) Η ανισότητα των Rogers και Shephard Το πρόβλημα Ελλειψοειδή Γενικά φράγματα Η ισοτροπική περίπτωση Ακτίνα του σώματος προβολών Βέλτιστες θέσεις Άνω φράγματα συναρτήσει της επιφάνειας αʹ Επιφάνεια και εσωτερική ακτίνα βʹ Θέση ελάχιστου μέσου πλάτους γʹ Ενα παράδειγμα δʹ Τυχαία πολύτοπα Προβολές σε υπόχωρους συντεταγμένων και η ucoditioal περίπτωση Προβολές σε τυχαίο υπερεπίπεδο Γενικευμένος λόγος όγκων Άνω φράγμα για τον k-οστό λόγο όγκων Quermassitegrals του ελλειψοειδούς Joh και Löwer

7 Prìlogoc Συμβολίζουμε με SK την κλάση όλων των συμμετρικών κυρτών σωμάτων όγκου 1 στον R και με CK την κλάση όλων των κυρτών σωμάτων όγου 1 στον R τα οποία έχουν κέντρο βάρους το 0 (από εδώ και πέρα θα τα ονομάζουμε για απλότητα συμμετρικά ή κεντραρισμένα αντίστοιχα). Αν K SK ή K CK τότε η οικογένεια των θέσεων του K είναι το σύνολο {T (K) : T SL()}. Στόχος μας σε αυτήν την διατριβή είναι να μελετήσουμε και να συγκρίνουμε μερικές από τις κλασικές θέσεις των συμμετρικών κυρτών σωμάτων, οι οποίες χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στη μελέτη των χώρων πεπερασμένης διάστασης με νόρμα. Ενα κοινό χαρακτηρηστικό όλων αυτών των θέσεων είναι ότι εμφανίζονται σαν λύσεις προβλημάτων της ακόλουθης μορφής: Δοθέντος ενός συναρτησοειδούς f πάνω στην κλάση των κυρτών σωμάτων, ζητείται το μέγιστο ή το ελάχιστο της T f(t (K)) πάνω από όλους τους T SL(). Οι θέσεις που περιγράφουμε παρακάτω εμφανίζονται σαν λύσεις προβλημάτων αυτού του τύπου: (i) Η ισοτροπική θέση K (i) του K ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές ( 1/2 T I 2 (T (K)) = x 2dx) 2. T (K) (ii) Η θέση ελάχιστης επιφάνειας K (s) του K ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές T (T (K)), όπου (A) είναι η επιφάνεια του A. (iii) Η θέση ελάχιστου μέσου πλάτους K (w) του K ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές T w(t (K)), όπου w(a) είναι το μέσο πλάτος του A. (iv) Η θέση Joh K (j) του K μεγιστοποιεί το συναρτησοειδές T r(t (K)), όπου r(a) είναι η εσωτερική (ή εγγεγραμμένη) ακτίνα του A. (v) Η θέση Löwer K (l) του K ελαχιστοποεί το συναρτησοειδές T R(T (K)), όπου R(A) είναι η εξωτερική (ή περιγεγραμμένη) ακτίνα του A.

8 viii Προλογος Ολες αυτές οι θέσεις προσδιορίζονται «μονοσήμαντα»: αν K (x) είναι μία από αυτές τις κλασικές θέσεις τότε το K (x) βρίσκεται στην ίδια θέση αν και μόνο αν υπάρχει U O() τέτοιος ώστε K (x) = U(K (x)). Ενα άλλο κοινό χαρακτηριστικό όλων αυτών των θέσεων είναι ότι περιγράφονται από ισοτροπικές συνθήκες: γενικά, λέμε ότι ένα μέτρο Borel µ στην S 1 λέγεται ισοτροπικό αν x, θ 2 dµ(x) = µ(s 1 ) S 1 για κάθε θ S 1. Με βάση αυτήν την ορολογία, έχουμε τα εξής: (i) Από το θεώρημα του Joh, αν το συμμετρικό κυρτό σώμα K βρίσκεται στη θέση Joh τότε υπάρχουν σημεία επαφής u 1,..., u m του r(k) 1 K και της μοναδιαίας Ευκλείδειας μπάλας B 2, και θετικοί πραγματικοί αριθμοί c 1,..., c m τέτοιοι ώστε x = m c j x, u j u j j=1 για κάθε x R. Ισοδύναμα, για κάθε x R έχουμε x 2 2 = x, x = m c j x, u j 2. Αυτό σημαίνει ότι το μέτρο µ στην S 1 που δίνει βάρος c j στο {u j }, j = 1,..., m, είναι ισοτροπικό. Αποδεικνύεται μάλιστα ότι, αντίστροφα, αν υπάρχει ένα ισοτροπικό μέτρο µ με φορέα τα σημεία επαφής του r(k) 1 K και της B2 τότε το K βρίσκεται στη θέση Joh. Τελείως αντίστοιχα αποτελέσματα ισχύουν για τη θέση Löwer. (ii) Από ένα θεώρημα των Γιαννόπουλου και V. Milma, ένα λείο κυρτό σώμα K βρίσκεται στη θέση ελάχιστου μέσου πλάτους αν και μόνο αν h K (u) u, θ 2 dσ(u) = w(k) S 1 για κάθε θ S 1. Ισοδύναμα, αν το μέτρο ν K που έχει πυκνότητα h K ως προς το σ είναι ισοτροπικό. (iii) Από ένα θεώρημα του Petty, ένα κυρτό σώμα K βρίσκεται στη θέση ελάχιστης επιφάνειας αν και μόνο αν το επιφανειακό του μέτρο σ K στην S 1 είναι ισοτροπικό. Μελετάμε προβλήματα που αφορούν τις κλασικές θέσεις ενός κυρτού σώματος, χρησιμοποιώντας την ισοτροπική περιγραφή τους. Μια αναλυτική περιγραφή των αποτελεσμάτων της διατριβής δίνεται στην Παράγραφο 2.2. Δίνουμε εδώ μια συνοπτική εικόνα: j=1

9 ix (i) Η M-θέση ενός κυρτού σώματος ορίστηκε ισομορφικά από τον V. Milma και παίζει βασικό ρόλο στην ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία. Μια βασική ιδιότητα της M-θέσης περιγράφεται από την ακόλουθη πρόταση: υπάρχει απόλυτη σταθερά β > 0 τέτοια ώστε, κάθε κυρτό σώμα K στον R με κέντρο βάρους το 0 έχει γραμμική εικόνα K όγκου K = 1 που ικανοποιεί την K + B 2 1/ β, όπου B 2 είναι το πολλαπλάσιο όγκου 1 της B2. Το ερώτημα αν η θέση ελάχιστης επιφάνειας του K ικανοποιεί αυτήν την ανισότητα για κάποια απόλυτη σταθερά β > 0 τέθηκε από τους Γιαννόπουλο και V. Milma και απαντήθηκε με αρνητικό τρόπο από τον Σαρόγλου. Δίνουμε μια διαφορετική απόδειξη αυτού του αποτελέσματος: υπάρχει ucoditioal κυρτό σώμα K όγκου 1 στον R που είναι σε θέση ελάχιστης επιφάνειας και ικανοποιεί την K + B 2 1/ c 8. Αποδεικνύουμε επίσης ότι «modulo» την τιμή της ισοτροπικής σταθεράς L K του K, ο εκθέτης 1/8 είναι βέλτιστος: για κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα K όγκου 1 στον R που είναι σε θέση ελάχιστης επιφάνειας, K + B 2 1/ C 8 L K. Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο δείχνουμε ότι υπάρχει ucoditioal κυρτό σώμα K όγκου 1 στον R το οποίο είναι σε θέση ελάχιστου μέσου πλάτους και ικανοποιεί την K + B 2 1/ c 8 log. Δείχνουμε επίσης ότι υπάρχει ucoditioal κυρτό σώμα K στον R, που είναι στη θέση Joh, τέτοιο ώστε K + B 2 1/ c 8. (ii) Δίνουμε αρνητική απάντηση σε ένα ερώτημα των Γιαννόπουλου και Παπαδημητράκη σχετικά με τη θέση ελάχιστης επιφάνειας. Στο [37] αποδεικνύεται ότι αν το K είναι σε θέση ελάχιστης επιφάνειας και έχει όγκο 1 τότε, με πιθανότητα μεγαλύτερη από 1 2, η τυχαία ( 1)-διάστατη προβολή P θ (K) του K έχει όγκο μεγαλύτερο από c, όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά, και τίθεται το ερώτημα αν η P θ (K) c ισχύει για κάθε θ S 1. Αποδεικνύουμε ότι υπάρχει ucoditioal κυρτό σώμα K όγκου 1 στον R, το οποίο βρίσκεται στη θέση ελάχιστης επιφάνειας, τέτοιο ώστε mi P θ S 1 θ (K) C.

10 x Προλογος Δίνουμε επίσης άνω φράγμα για το μέσο πλάτος ενός κυρτού σώματος K στον R που είναι σε θέση ελάχιστης επιφάνειας: w(k) C 3/2 (K), όπου (K) c είναι η (ελάχιστη) επιφάνεια του K και C > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. (iii) Ορίζουμε την απόσταση Schatte δύο κλασικών θέσεων K (x) και K (y) του K ως εξής: d tr (K (x), K (y) ) := tr( T T ), όπου T SL() είναι ένας γραμμικός τελεστής για τον οποίο T (K (x) ) = K (y). Αφού όλες οι κλασικές θέσεις του K ορίζονται μονοσήμαντα modulo ορθογώνιους μετασχηματισμούς, η d tr (K (x), K (y) ) είναι καλά ορισμένη. Δίνουμε διάφορα επιχειρήματα τα οποία οδηγούν σε άνω φράγματα για την απόσταση d tr (K (x), K (y) ). Σε όλα αυτά τα επιχειρήματα, βασικό ρόλο παίζουν οι ισοτροπικοί χαρακτηρισμοί των διαφόρων θέσεων. Αποτέλεσμα των εκτιμήσεων που προκύπτουν είναι οι ανισότητες στον επόμενο πίνακα: K (i) 1 K (i) K (s) K (w) K (j) K (l) L K K (s) LK 1 log L K log r s() L K r s() L K r s() K (w) (log ) 2 L K 1 K (j) log 1 K (l) log 1 όπου r s () = mi{r(k (s) ) : K SK } και L K είναι η ισοτροπική σταθερά του K. (iv) Εστω K ένα κυρτό σώμα όγκου 1 στον R με 0 it(k). Για κάθε 1 k 1 και κάθε F G,k ορίζουμε g(k, k; F ) := ( P F (K) K F ) 1/k, όπου με F συμβολίζουμε τον ορθογώνιο υπόχωρο του F στον R. Μια κλασική ανισότητα των Rogers και Shephard μας λέει ότι αν το K είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων τότε ( ) 1/k c 0 1 g(k, k; F ) k k,

11 xi όπου c 0 > 0 είναι απόλυτη σταθερά. Αποδεικνύουμε ότι αν το K βρίσκεται στην ισοτροπική θέση τότε η «τυπική συμπεριφορά» της g(k, k; F ) βρίσκεται «στη μέση»: για κάθε 1 k 1, ο τυχαίος F G,k ικανοποιεί την c 1 L 1 K /k g(k, k; F ) c2 /k(log ) 2 L K με πιθανότητα μεγαλύτερη από 1 e k, όπου c 1, c 2 > 0 είναι απόλυτες σταθερές. Η προσέγγισή μας οδηγεί σε μερικά κάτω και άνω φράγματα που μπορεί να φανούν χρήσιμα και για άλλες θέσεις του K, όπως η θέση ελάχιστου μέσου πλάτους ή η θέση ελάχιστης επιφάνειας ή η θέση Joh. (v) Μελετάμε το ερώτημα να δοθούν γενικά άνω φράγματα για την ποσότητα max{ P θ (K) : θ S 1 } όταν το K βρίσκεται σε κάποια από τις κλασικές θέσεις. Το ερώτημα είναι ισοδύναμο με το να δοθεί άνω φράγμα για την εξωτερική ακτίνα του σώματος προβολών ΠK του K. Ειδικότερα, μας ενδιαφέρει η ισοτροπική περίπτωση, όπου αναζητούμε άνω φράγμα της τάξης της /L K (το ερώτημα αυτό έχει τεθεί από τον Vempala). Αποδεικνύουμε ότι για κάθε ucoditioal ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R ισχύει R(ΠK) C, όπου C > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Επίσης, δείχνουμε ότι ο όγκος της τυχαίας ( 1)-διάστατης προβολής ενός κυρτού σώματος το οποίο βρίσκεται στην ισοτροπική θέση ή στη θέση Joh ή είναι συμμετρικό και βρίσκεται στη θέση Löwer φράσσεται από C. (vi) Η έννοια του λόγου όγκων ορίζεται για τυχόν ζεύγος συμμετρικών κυρτών σωμάτων K και C στον R ως εξής: ( ) 1/ T (C) vr(c, K) := if, K όπου το ifimum παίρνεται πάνω από όλους τους T GL() για τους οποίους K T (C). Οι Γιαννόπουλος και Χαρτζουλάκη έχουν δείξει ότι αν K και C είναι δύο συμμετρικά κυρτά σώματα στον R τότε vr(c, K) c log, όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Εισάγουμε μια γενίκευση της έννοιας του λόγου όγκων: για κάθε ζεύγος συμμετρικών κυρτών σωμάτων K, C στον R και για κάθε 1 k ορίζουμε τον k-οστό λόγο όγκων των C και K θέτοντας { (W k ) 1/k (T C) vr k (C, K) = if : T GL(), K T (C)}, W k (K)

12 xii Προλογος όπου W j (C) := V (C; j, B 2 ; j) είναι το j-οστό quermassitegral ενός κυρτού σώματος C. Παρατηρήστε ότι vr (C, K) = vr(c, K). Δίνουμε μια εκτίμηση για τον vr k (C, K) υποθέτοντας ότι το K βρίσκεται στην l-θέση (η οποία είναι «ισοδύναμη» με τη θέση ελάχιστου μέσου πλάτους): αν K είναι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R το οποίο βρίσκεται στην l-θέση, τότε για κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα C στον R και για κάθε 1 k έχουμε: vr k (C, K) c log(1 + d C ) log(1 + d K ), όπου d K := d(k, B 2 ) είναι η απόσταση Baach-Mazur του K από την B 2 και c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Ειδικότερα, vr k (C, K) c (log ) 2. (vii) Ορίζουμε την k-οστή ελαχιστική θέση ενός ζεύγους συμμετρικών κυρτών σωμάτων K και C στον R : αν 0 k 1 τότε λέμε ότι το C βρίσκεται στην k-οστή ελαχιστική θέση ως προς το K αν K C και W k (C) W k (T (C)) για κάθε T GL() με K T (C). Αφού W 0 (C) = C, η 0-οστή ελαχιστική θέση του C ως προς το K συμπίπτει με τη θέση ελάχιστου όγκου. Δείχνουμε ότι αν K είναι ένα λείο συμμετρικό κυρτό σώμα στον R και αν η B2 βρίσκεται στη θέση ελάχιστου μέσου πλάτους ως προς το K τότε η B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το K, δηλαδή το K βρίσκεται στη θέση Löwer. Στην πραγματικότητα μπορούμε να πούμε κάτι παραπάνω: η B2 βρίσκεται στην k-οστή ελαχιστική θέση ως προς το K για κάθε 0 k 1. Αντίστοιχο αποτέλεσμα μπορούμε να δείξουμε στην δυϊκή περίπτωση όπου η B2 έχει μέγιστο μέσο πλάτος ανάμεσα σε όλα τα ελλειψοειδή που περιέχονται σε ένα συμμετρικό κυρτό σώμα K. Μπορούμε να ελέγξουμε ότι αυτό είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι το K βρίσκεται στη θέση Joh.

13 Kefˆlaio 1 Basikèc èoiec Δουλεύουμε στον R, ο οποίος είναι εφοδιασμένος με μια Ευκλείδεια δομή,. Συμβολίζουμε με 2 την αντίστοιχη Ευκλείδεια νόρμα, γράφουμε B2 για την Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα και S 1 για τη μοναδιαία σφαίρα. Ο όγκος (μέτρο Lebesgue) συμβολίζεται με. Γράφουμε ω για τον όγκο της B2 και σ για το αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς μέτρο πιθανότητας στην S 1. Η πολλαπλότητα Grassma G,k των k-διάστατων υποχώρων του R είναι εφοδιασμένη με το μέτρο πιθανότητας Haar ν,k. Για κάθε k και F G,k συμβολίζουμε με P F την ορθογώνια προβολή από τον R στον F. Επίσης, ορίζουμε B F = B2 F και S F = S 1 F. Για κάθε 1 p συμβολίζουμε τη μοναδιαία μπάλα του l p με Bp. Ειδικότερα, γράφουμε Q για τον κύβο B = [ 1, 1] και C = [ 1 2, 2] 1 για τον κύβο όγκου 1. Τα γράμματα c, c, c 1, c 2,... συμβολίζουν απόλυτες θετικές σταθερές, η τιμή των οποίων μπορεί να αλλάζει από γραμμή σε γραμμή. Γράφοντας a b, εννοούμε ότι υπάρχουν απόλυτες σταθερές c 1, c 2 > 0 τέτοιες ώστε c 1 a b c 2 a. Επίσης, αν K, L R θα γράφουμε K L αν υπάρχουν απόλυτες σταθερές c 1, c 2 > 0 τέτοιες ώστε c 1 K L c 2 K. Στις επόμενες ενότητες αυτού του κεφαλαίου δίνουμε βασικούς ορισμούς και αναφέρουμε κάποια βασικά αποτελέσματα της θεωρίας των κυρτών σωμάτων και της ασυμπτωτικής γεωμετρικής ανάλυσης, τα οποία θα χρησιμοποιούμε συχνά σε αυτήν την διατριβή. Παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα βιβλία των Garder [28] και Scheider [65] για την κλασική θεωρία Bru-Mikowski και στο βιβλίο των Artstei, Γιαννόπουλου και V. Milma [1] για τα βασικά αποτελέσματα της ασυμπτωτικής κυρτής γεωμετρίας. Το άρθρο [54] των V. Milma και Pajor και το βιβλίο [21] περιέχουν όλα όσα θα χρειαστούμε από τη θεωρία των ισοτροπικών κυρτών σωμάτων και των ισοτροπικών λογαριθμικά κοίλων μέτρων.

14 2 Βασικες εννοιες 1.1 Kurtˆ s mata Κυρτό σώμα στον R είναι ένα συμπαγές κυρτό υποσύνολο C του R με μη κενό εσωτερικό. Λέμε ότι το C είναι συμμετρικό αν «x C αν και μόνον αν x C». Λέμε ότι το C είναι κεντραρισμένο αν έχει κέντρο βάρους το 0 (την αρχή των αξόνων), δηλαδή αν (1.1.1) x, θ dx = 0 C για κάθε θ S 1. Η ακτινική συνάρτηση ρ C : R \ {0} R + του κυρτού σώματος C με 0 it(c) ορίζεται ως εξής: (1.1.2) ρ C (x) = max{t > 0 : tx C}. Η συνάρτηση στήριξης του C ορίζεται για κάθε y R ως εξής: (1.1.3) h C (y) = max{ x, y : x C}. Λέμε ότι το C είναι λείο αν η h C είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη. Παρατηρήστε ότι για κάθε θ S 1 ισχύει ρ C (θ) h C (θ). Το μέσο πλάτος του C είναι η ποσότητα (1.1.4) w(c) = h C (θ) dσ(θ). S 1 Η περιγεγραμμένη ακτίνα (ή εξωτερική ακτίνα) του C είναι η (1.1.5) R(C) = max{ x 2 : x C}. Πολλές φορές, για σώματα C με 0 it(c) λέμε την παραπάνω ποσότητα διάμετρο του σώματος. Ο λόγος είναι ότι αυτές οι δυο ποσότητες είναι ισοδύναμες: (1.1.6) R(C) diam(c) 2R(C), όπου diam(c) = sup{ x y 2 : x, y C}. Αν το 0 είναι εσωτερικό σημείο του C, γράφουμε r(c) για την εγγεγραμμένη ακτίνα του C (τον μεγαλύτερο r > 0 για τον οποίο rb 2 C). Η ακτίνα όγκου του C είναι η ποσότητα (1.1.7) vrad(c) = Το πολικό σώμα C του C ορίζεται να είναι το ( ) 1/ C B2. (1.1.8) C = {x R : x, y 1 για κάθε y C}. Βασικές ιδιότητες του πολικού σώματος είναι οι ακόλουθες:

15 1.1 Κυρτα σωματα 3 (α) 0 C. (β) Αν 0 it(c), τότε (C ) = C. (γ) Για κάθε θ S 1 ισχύει ρ C (θ) = 1/h C (θ). (δ) Για κάθε T GL() ισχύει (T K) = (T 1 ) (K ). Γράφουμε C για την ομοιοθετική εικόνα όγκου 1 του κυρτού σώματος C R, δηλαδή C := C C 1/. 1.1αʹ Βασικές ανισότητες Κάποιες βασικές ανισότητες για όγκους κυρτών σωμάτων οι οποίες θα φανούν χρήσιμες είναι οι ακόλουθες: (α) Η ανισότητα Bru-Mikowski. Αν K και T είναι δύο μη κενά συμπαγή υποσύνολα του R, τότε (1.1.9) K + T 1/ K 1/ + T 1/. Η (1.1.9) εκφράζει το γεγονός ότι ο όγκος είναι «κοίλη συνάρτηση» ως προς το άθροισμα Mikowski. Για το λόγο αυτό, συχνά την γράφουμε στην ακόλουθη μορφή: Αν K και T είναι δύο μη κενά συμπαγή υποσύνολα του R τότε για κάθε λ (0, 1) έχουμε (1.1.10) λk + (1 λ)t 1/ λ K 1/ + (1 λ) T 1/. Από την (1.1.10) και από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έπεται ότι (1.1.11) λk + (1 λ)t K λ T 1 λ. (β) Η ανισότητα του Urysoh. Αν C είναι κυρτό σώμα στον R τότε (1.1.12) w(c) ( ) 1/ C B2. (γ) Η ανισότητα Blaschke Sataló. Αν C είναι συμμετρικό κυρτό σώμα στον R, ή γενικότερα αν το C έχει κέντρο βάρους το 0, τότε (1.1.13) C C B 2 2. (δ) Η ανισότητα των Bourgai Milma. Υπάρχει μια απόλυτη σταθερά 0 < c < 1 ώστε: για κάθε N και για κάθε κυρτό σώμα C στον R με 0 it(c) ισχύει (1.1.14) C C c B 2.

16 4 Βασικες εννοιες Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή και ως αντίστροφη ανισότητα Sataló. (ε) Η ανισότητα των Rogers-Shephard. Αν C είναι κυρτό σώμα στον R, τότε ( ) 2 (1.1.15) C C C, όπου C C := {x y : x, y C} είναι το σώμα διαφορών του C. 1.1βʹ Μεικτοί όγκοι Συμβολίζουμε με K τον κυρτό κώνο (με την πρόσθεση κατά Mikowski και τον πολλαπλασιασμό με μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς) των μη κενών, συμπαγών κυρτών υποσυνόλων του R και με SK την κλάση των συμμετρικών κυρτών σωμάτων στον R. Γράφουμε επίσης CK για την κλάση των κεντραρισμένων κυρτών σωμάτων στον R. Από το θεμελιώδες θεώρημα του Mikowski, αν K 1,..., K m K, m N, τότε ο όγκος του t 1 K t m K m είναι ένα ομογενές πολυώνυμο βαθμού ως προς τους t i > 0. Δηλαδή, (1.1.16) t 1 K t m K m = V (K i1,..., K i )t i1... t i, 1 i 1,...,i m όπου οι συντελεστές V (K i1,..., K i ) επιλέγονται ώστε να είναι ανεξάρτητοι από τις μεταθέσεις των K ij (δηλαδή, για κάθε μετάθεση σ : {1,..., } {1,..., } να ισχύει V (K iσ(1),... K iσ() ) = V (K i1,..., K i )). Ο συντελεστής V (K 1,..., K ) είναι ο μεικτός όγκος των K 1,..., K. Ειδικότερα, αν K και C είναι δύο κυρτά σώματα στον R τότε η συνάρτηση K + tc είναι πολυώνυμο του t [0, ): (1.1.17) K + tc = j=0 ( ) V j (K, C) t j, j όπου V j (K, C) = V (K; j, C; j) είναι ο j-οστός μεικτός όγκος των K και C (χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό C; j για την j-άδα C,..., C). Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι (1.1.18) V 1 (K, C) = 1 lim K + tc K, t 0 + t και από την ανισότητα Bru-Mikowski βλέπουμε ότι (1.1.19) V 1 (K, C) K 1 C 1 για όλα τα K και C (αυτή είναι η πρώτη ανισότητα του Mikowski).

17 1.1 Κυρτα σωματα 5 Ο τύπος του Steier είναι ειδική περίπτωση της (1.1.17): ο όγκος του K + tb 2, t > 0, μπορεί να εκφραστεί σαν πολυώνυμο του t: (1.1.20) K + tb 2 = k=0 ( ) W k (K)t k, k όπου W k (K) := V (K; k, B 2 ; k) είναι το ( k)-οστό quermassitegral του K. Τα quermassitegrals είναι μονότονα, συνεχή ως προς την Hausdorff μετρική και ομογενή βαθμού k. Η επιφάνεια (K) ενός κυρτού σώματος K ορίζεται ως εξής: K + tb2 K (1.1.21) (K) = lim. t 0 + t Η ισοπεριμετρική ανισότητα ισχυρίζεται ότι ανάμεσα σε όλα τα κυρτά σώματα που έχουν τον ίδιο όγκο, η μπάλα έχει τη μικρότερη επιφάνεια. Ο ισχυρισμός αυτός είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας Bru-Mikowski: Αν K είναι ένα κυρτό σώμα στον R και αν γράψουμε K = rb 2 για κάποιον r > 0, τότε για κάθε t > 0 (1.1.22) K + tb 2 1/ K 1/ + t B 2 1/ = (r + t) B 2 1/. Συνεπώς, η επιφάνεια (K) του K ικανοποιεί την και αυτό αποδεικνύει ότι K + tb2 K (r + t) r (K) = lim lim B t 0 + t t t = r 1 B2, (1.1.23) (K) B2 1 1 K με ισότητα αν K = rb 2. Ειδικότερα, αν K = 1 τότε έχουμε (1.1.24) (K) B 2 1 c. Για κάθε 1 k θεωρούμε την κανονικοποιημένη εκδοχή του W k (K) ( ) ( 1/k ) 1/k W k (K) 1 (1.1.25) Q k (K) = = P F (K) dν,k (F ), ω ω k G,k όπου η δεύτερη ισότητα είναι ο τύπος του Kubota, μια πολύ χρήσιμη ταυτότητα η οποία εκφράζει το W k (K) ως τη μέση τιμή των όγκων των k-διάστατων προβολών του K. Παρατηρήστε ότι Q 1 (K) = w(k).

18 6 Βασικες εννοιες Η ανισότητα Aleksadrov-Fechel μας λέει ότι αν μας δοθούν μη κενά συμπαγή και κυρτά σύνολα K, C και K 3,..., K K, τότε (1.1.26) V (K, C, K 3,..., K ) 2 V (K, K, K 3,..., K )V (C, C, K 3,..., K ). Από την (1.1.26) έπεται ότι η ακολουθία (W 0 (K),..., W (K)) είναι λογαριθμικά κοίλη: έχουμε W k i j W k j i για κάθε 0 i < j < k. Χρησιμοποιώντας αυτό το W j i k γεγονός και τον ορισμό των Q k (K) ελέγχουμε ότι η Q k (K) είναι φθίνουσα συνάρτηση του k. Τα μεικτά επιφανειακά μέτρα ορίστηκαν από τον Aleksadrov και είναι, κατά κάποιον τρόπο, μια τοπική γενίκευση των μεικτών όγκων. Για κάθε ( 1)-άδα L = (K 1,..., K 1 ) στοιχείων του K, το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός μέτρου Borel S(L, ) στη μοναδιαία σφαίρα S 1 με την ιδιότητα (1.1.27) V (C, K 1,..., K 1 ) = 1 S 1 h C (u)ds(l, u) για κάθε C K. Το k-οστό επιφανειακό μέτρο του K ορίζεται να είναι το S k (K, ) = S(K; k, B2 ; k 1, ), k = 0, 1,..., 1. Άμεση συνέπεια αυτού του ορισμού είναι ότι τα quermassitegrals του K μπορούν να αναπαρασταθούν στην μορφή (1.1.28) W k (K) = 1 h K (u)ds k 1 (K, u), k = 0, 1,..., 1. S 1 Το μέτρο σ K := S(K,..., K), το οποίο αντιστοιχεί στην περίπτωση k = 1, είναι το επιφανειακό μέτρο του K. Ο μεικτός όγκος V 1 (K, C) εκφράζεται ως (1.1.29) V 1 (K, C) = 1 h C (u)dσ K (u). S 1 Παρατηρήστε ότι η επιφάνεια του K ικανοποιεί την (1.1.30) (K) = V 1 (K, B 2 ). 1.1γʹ Αριθμοί κάλυψης Εστω A, B δύο συμπαγή υποσύνολα του R με μη κενό εσωτερικό. Ο αριθμός κάλυψης του A από το B είναι ο ελάχιστος φυσικός N για τον οποίο υπάρχουν N μεταφορές του B των οποίων η ένωση καλύπτει το A: N (1.1.31) N(A, B) = mi N N : x 1,..., x N R ώστε A (x j + B). j=1

19 1.1 Κυρτα σωματα 7 Μια παραλλαγή του παραπάνω αριθμού κάλυψης είναι ο ακόλουθος αριθμός: N (1.1.32) N(A, B) = mi N N : x 1,..., x N A ώστε A (x j + B). Είναι άμεσο από τον ορισμό ότι N(A, B) N(A, B). Μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι N(A, B B) N(A, B). Ειδικότερα, αν το B είναι συμμετρικό και κυρτό, τότε N(A, 2B) N(A, B). Θα χρησιμοποιήσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες των αριθμών κάλυψης: αν A, B, C είναι κυρτά σώματα στον R, τότε: (i) N(A, B) N(A, B) N(B, C). (ii) Αν το B είναι συμμετρικό, τότε A + B A + B (1.1.33) 2 N(A, B) 2. B B (iii) Αν τα A, B, C είναι συμμετρικά κυρτά σώματα όγκου 1 στον R τότε (1.1.34) A + B 1/ c 1 A + C 1/ B + C 1/, όπου c 1 > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Εστω A, B κυρτά σώματα με το B συμμετρικό. Για κάθε t > 0 ορίζουμε (1.1.35) S t (A, B) = max{m N : x 1,..., x m A ώστε x i x j B > t για i j}. Από τον ορισμό ελέγχουμε εύκολα ότι (1.1.36) N(A, tb) S t (A, B) N(A, t 2 B). Τέλος, θα χρειαστούμε δύο βασικά θεωρήματα για αριθμούς κάλυψης. Το πρώτο είναι η ανισότητα του Sudakov: Θεώρημα (Sudakov). Εστω K κυρτό σώμα στον R. Για κάθε t > 0 ισχύει ( ( ) ) 2 w(k) (1.1.37) N(K, tb2 ) 2 exp c, t όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Το επόμενο θεώρημα αποδείχθηκε από τους Artstei-Milma-Szarek και εκφράζει τον δυϊσμό των αριθμών κάλυψης, όταν ένα από τα δυο σώματα είναι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα. j=1

20 8 Βασικες εννοιες Θεώρημα (Artstei-Milma-Szarek). Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Τότε, (1.1.38) log N(K, B 2 ) c 1 log N(B 2, c 2 K ), όπου c 1, c 2 > 0 είναι απόλυτες σταθερές. 1.2 Q roi peperasmèhc diˆstashc me ìrma Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Η απεικόνιση K : R R + με (1.2.1) x K = if{t > 0 : x tk} είναι νόρμα στον R. Ο χώρος (R, K ) συμβολίζεται με X K. Αντίστροφα αν X = (R, ) είναι ένας χώρος με νόρμα, τότε η μοναδιαία μπάλα B = {x R : x 1} του X είναι συμμετρικό κυρτό σώμα. Εστω X, Y δύο -διάστατοι χώροι με νόρμα. Η απόσταση Baach Mazur του X από τον Y ορίζεται ως (1.2.2) d(x, T ) = if{ T T 1 T : X Y γραμμικός ισομορφισμός}. Σε γεωμετρική γλώσσα η απόσταση Baach Mazur περιγράφεται ως εξής: Αν X = X K και Y = X L (δηλαδή οι μοναδιαίες μπάλες των X, Y είναι τα κυρτά σώματα K, L αντίστοιχα) τότε ο d(x, Y ) είναι ο μικρότερος d > 0 ώστε (1.2.3) L T (K) dl για κάποιον αντιστρέψιμο γραμμικό μετασχηματισμό T. Είναι προφανές ότι d(x, Y ) 1 για κάθε δύο -διάστατους χώρους, με ισότητα αν και μόνον αν οι χώροι είναι ισομετρικά ισόμορφοι. Ετσι, η απόσταση Baach-Mazur μετράει πόσο διαφέρουν δύο χώροι από το να είναι ισομετρικοί. Θα χρησιμοποιούμε συχνά το κλασικό θεώρημα του Joh (το οποίο θα συζητηθεί εκτενέστερα στο επόμενο κεφάλαιο). Θεώρημα Για κάθε -διάστατο χώρο με νορμα X = (R, ) ισχύει (1.2.4) d(x, l 2 ). Σταθεροποιούμε μια ορθοκανονική βάση στον R με {e 1,..., e }. Θα λέμε ότι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R είναι ucoditioal αν η {e 1,..., e } είναι 1-ucoditioal βάση για τη νόρμα K που επάγεται στον R από το K. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών t 1,..., t και για κάθε επιλογή προσήμων ε j = ±1 έχουμε (1.2.5) ε1 t 1 e ε t e K = t1 e t e K.

21 1.2 Χωροι πεπερασμενης διαστασης με νορμα 9 Σε μια πιο γεωμετρική γλώσα, το K είναι ucoditioal αν και μόνο αν είναι συμμετρικό ως προς όλους τους υποχώρους συντεταγμένων e j, j = 1,...,. Θα λέμε ότι το K είναι 1-συμμετρικό αν για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών t 1,..., t, και για κάθε μετάθεση σ του {1,..., } και κάθε επιλογη προσήμων ε j = ±1 έχουμε (1.2.6) ε 1 t σ(1) e ε t σ() e K = t 1 e t e K. Παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα βιβλία των V. Milma-Schechtma [55], Pisier [61] και Artstei, Γιαννόπουλου και V. Milma [1] για τη θεωρία των χώρων πεπερασμένης διάστασης με νόρμα. 1.2αʹ Η l-θέση και η ανισότητα του Pisier Η l-θέση Εστω X ένας -διάστατος χώρος με νόρμα και έστω α μια νόρμα στον L(l 2, X). Η δυϊκή ως προς το ίχνος νόρμα ορίζεται στον L(X, l 2 ) ως εξής: (1.2.7) α (v) = sup{tr(vu) : α(u) 1}. Το λήμμα του Lewis [46] ισχύει για κάθε ζευγάρι δυϊκών ως προς το ίχνος νορμών: Θεώρημα Για κάθε νόρμα α στον L(l 2, X), υπάρχει u : l 2 X τέτοιος ώστε α(u) = 1 και α (u 1 ) =. Η l-νόρμα στον L(l 2, X) ορίστηκε από τους Figiel και Tomczak-Jaegerma στο [27]. Εστω {g 1,..., g } μια ακολουθία από ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές σε έναν χώρο πιθανότητας και έστω {e 1,..., e } η συνήθης ορθοκανονική βάση του R. Για κάθε u : l 2 X ορίζουμε την l-νόρμα του u ως εξής: (1.2.8) l(u) = Ενας απλός υπολογισμός μας δίνει ότι ( E g i u(e i ) ) 1/2 2. i=1 (1.2.9) l(u) w((u 1 ) (K )), όπου K είναι η μοναδιαία μπάλα του X. Αυτή η σχέση συνδέει την l-νόρμα με το μέσο πλάτος. Ενα απλούστερο μοντέλο προκύπτει αν στη θέση των κανονικών τυχαίων μεταβλητών θεωρήσουμε τις Rademacher συναρτήσεις r i : E 2 { 1, 1} που ορίζονται μέσω των

22 10 Βασικες εννοιες r i (ε) = ε i, όπου βλέπουμε τον E2 = { 1, 1} σαν χώρο πιθανότητας με το ομοιόμορφο μέτρο. Από μια ανισότητα των Maurey και Pisier έπεται ότι (1.2.10) l(u) ( E 2 r i (ε)u(e i ) 1/2 dε) 2. i=1 Το σύμβολο σημαίνει εδώ ότι οι δύο ποσότητες διαφέρουν κατά έναν όρο τάξης το πολύ ίσης με log. Θεωρούμε τις Walsh συναρτήσεις w A (ε) = i A r i(ε), όπου A {1,..., }. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι κάθε συνάρτηση f : E 2 X γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή (1.2.11) f(ɛ) = A w A (ɛ)x A, για κάποια διανύσματα x A X. Ο χώρος όλων των συναρτήσεων f : E2 χώρος Baach με νόρμα την X γίνεται (1.2.12) f L2(X) = ( E 2 f(ɛ) 2 dɛ ) 1/2 Η Rademacher προβολή R : L 2 (X) L 2 (X) είναι ο τελεστής που απεικονίζει την f = wa x A στη συνάρτηση R f := i=1 r ix {i}. Γράφουμε Rad(X) για την νόρμα του τελεστή R. Οι Figiel και Tomczak-Jaegerma [27] απέδειξαν το εξής: Θεώρημα Εστω X ένας -διάστατος χώρος με νόρμα. Υπάρχει u : l 2 τέτοιος ώστε X (1.2.13) l(u)l((u 1 ) ) Rad(X). Θα περιγράψουμε τις βασικές ιδέες της απόδειξης τους. Από το Θεώρημα μπορούμε να βρούμε έναν ισομορφισμό u : l 2 X τέτοιον ώστε l(u)l (u 1 ) =. Από την άλλη πλευρά, (1.2.14) l ( (u 1 ) ) = ( E 2 r i (ɛ)(u 1 ) (e i ) ) 1/2 2 dɛ. i=1 Υπάρχει συνάρτηση φ : E 2 X, που μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή φ = A w Ax A και έχει νόρμα φ L2(X) = 1, τέτοια ώστε (1.2.15) l((u 1 ) ) = r i (u 1 ) (e i ), φ = i=1 (u 1 ) (e i ), x {i}. i=1

23 1.2 Χωροι πεπερασμενης διαστασης με νορμα 11 Αν ορίσουμε v : l 2 X όπου v(e i ) = x {i}, εύκολα βλέπουμε ότι (1.2.16) l((u 1 ) ) = tr(u 1 v) l (u 1 )l(v). Τελικά παρατηρούμε ότι (1.2.17) l(v) = R (φ) L2(X) Rad(X) φ L2(X) = Rad(X), απ όπου παίρνουμε (1.2.18) l(u)l((u 1 ) ) l(u)l (u 1 )Rad(X) = Rad(X). Η ανισότητα του Pisier και η MM -ανισότητα Ο Pisier έδωσε στο [59] μια ακριβή εκτίμηση για την Rad(X) συναρτήσει της απόστασης Baach-Mazur d(x, l 2 ). Θεώρημα Εστω X ένας -διάστατος χώρος με νόρμα. Τότε, (1.2.19) Rad(X) c log[d(x, l 2 ) + 1] c log( + 1), όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά, και η τελευταία ανισότητα προκύπτει από το θεώρημα του Joh. Σε συνδυασμό με τα αποτελέσματα των Lewis, Figiel και Tomczak-Jaegerma, το Θεώρημα οδηγεί στο ακόλουθο συμπέρασμα. Θεώρημα (MM -ανισότητα). Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Υπάρχει μια θέση K του K για την οποία (1.2.20) w( K)w( K ) c log[d(x K, l 2 ) + 1] c log( + 1), όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Υπολογίζοντας τον όγκο του K σε πολικές συντεταγμένες και εφαρμόζοντας την ανισότητα Hölder βλέπουμε ότι w( K ) 1 c 2 K 1/. Επεται ότι (1.2.21) w( K) c log K 1/. Κανονικοποιώντας τον όγκο παίρνουμε την εξής αντίστροφη ανισότητα Urysoh. Θεώρημα Αν K είναι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R τότε υπάρχει μια γραμμική εικόνα K του K με όγκο K = 1 και μέσο πλάτος (1.2.22) w( K) c log, όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Επιπλέον, με ένα απλό επιχείρημα που βασίζεται στην ανισότητα Rogers-Shephard μπορούμε να δούμε ότι η υπόθεση της συμμετρίας στο προηγούμενο θεώρημα δεν είναι απαραίτητη.

24 12 Βασικες εννοιες 1.2βʹ M-θέση Το παρακάτω θεώρημα του Milma ([52], βλέπε επίσης [53]) εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός «M-ελλειψοειδούς» για κάθε κυρτό σώμα. Θεώρημα Υπάρχει μια σταθερά C > 0 με την εξής ιδιότητα: για κάθε κυρτό σώμα K στον R με κέντρο βάρους το 0 υπάρχει ένα 0-συμμετρικό ελλειψοειδές E K τέτοιο ώστε K = E K και (1.2.23) 1 c E K + T 1/ K + T 1/ c E K + T 1/, 1 c E K + T 1/ K + T 1/ c EK + T 1/ για κάθε κυρτό σώμα T στον R, όπου K είναι το πολικό του K. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι K = 1 και ότι ισχύει E K = B 2, όπου B 2 είναι η ευκλείδεια μπάλα όγκου 1 στον R. Αυτό είναι πάντα εφικτό αν εφαρμόσουμε κατάλληλο γραμμικό μετασχηματισμό στο K. Στη συνέχεια, θέτοντας T = B 2, από τις (1.2.23) παίρνουμε (1.2.24) K + B 2 1/ C 1 και K + B 2 1/ C 2. όπου C 1, C 2 > 0 είναι απόλυτες σταθερές. Με άλλα λόγια, υπάρχει μια απόλυτη σταθερά β > 0 ώστε: κάθε κυρτό σώμα K στον R με κέντρο βάρους το 0 έχει γραμμική εικόνα K με K = 1 που ικανοποιεί τις (1.2.25) K + B 2 1/ β και K + B 2 1/ β. Λέμε ότι ένα κυρτό σώμα K στον R, με όγκο 1 και κέντρο βάρους το 0, που ικανοποιεί τις (1.2.25) είναι σε M-θέση με σταθερά β. Αν K 1 και K 2 είναι δύο τέτοια κυρτά σώματα, τότε χρησιμοποιώντας την (1.1.34), την ανισότητα Blaschke-Sataló και την αντίστροφή της, εύκολα ελέγχουμε ότι K 1 + K 2 1/ C(β) ( K 1 1/ + K 2 1/) και K 1 + K 2 1/ C(β) ( K 1 1/ + K 2 1/), όπου C(β) είναι μια σταθερά που εξαρτάται μόνο από το β. Αυτή η σχέση μας δίνει την αντίστροφη ανισότητα Bru-Mikowski. Υπενθυμίζουμε τον αριθμό κάλυψης N(A, B) δύο κυρτών σωμάτων A και B: είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός N για τον οποίον υπάρχουν N μεταφορές του B των οποίων η ένωση καλύπτει το A. Εύκολα ελέγχουμε ότι A + B N(A, B) 2B και, αν το B είναι συμμετρικό, A + B/2 N(A, B) B/2. Χρησιμοποιώντας αυτές τις απλές ανισότητες βλέπουμε ότι κάθε κυρτό σώμα K στον R που βρίσκεται σε M-θέση με σταθερά β ικανοποιεί τις (1.2.26) max { N(K 1, B 2 ), N(B 2, K 1 ), N(K 1, B 2 ), N(B 2, K 1 ) } exp(cβ),

25 1.3 Ισοτροπικη θεση ενος κυρτου σωματος 13 όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά και K 1 είναι το πολλαπλάσιο του K που έχει τον ίδιο όγκο με την B 2.. Αργότερα, ο Pisier [60] έδωσε μια διαφορετική προσσέγγιση σε αυτό το αποτέλεσμα, που δίνει περισσότερες πληροφορίες για την συμπεριφορά των αριθμών κάλυψης. Η ακριβής διατύπωση είναι η ακόλουθη. Θεώρημα (Pisier). Για κάθε 0 < α < 2 και κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R υπάρχει μια γραμμική εικόνα K 1 του K τέτοια ώστε (1.2.27) max { N(K 1, tb2 ), N(B2, tk 1 ), N(K1, tb2 ), N(B2, tk1 ) } ( ) c(α) exp για κάθε t 1, όπου c(α) είναι μια θετική σταθερά που εξαρτάται μόνο από το α, και c(α) = O ( (2 α) α/2) καθώς το α Isotropik jèsh eìc kurtoô s matoc Ενα κυρτό σώμα K στον R λέγεται ισοτροπικό αν έχει όγκο K = 1, είναι κεντραρισμένο (δηλαδή έχει κέντρο βάρους στην αρχή των αξόνων), και υπάρχει μια σταθερά α > 0 τέτοια ώστε (1.3.1) x, y 2 dx = α 2 y 2 2 K για κάθε y R. Παρατηρήστε ότι αν το K ικανοποιεί την ισοτροπική συνθήκη (1.3.1) τότε (1.3.2) x 2 2dx = x, e i 2 dx = α 2, K i=1 όπου x j = x, e j είναι οι συντεταγμένες του x ως προς κάποια ορθοκανονική βάση {e 1,..., e } του R. Επίσης, εύκολα ελέγχουμε ότι αν K είναι ένα ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R τότε, για κάθε U O() το U(K) είναι επίσης ισοτροπικό. Δεν είναι δύσκολο να ελέγξουμε ότι η ισοτροπική συνθήκη (1.3.1) είναι ισοδύναμη με καθεμία από τις παρακάτω συνθήκες: (i) Για κάθε i, j = 1,...,, (1.3.3) K x i x j dx = α 2 δ ij. t α (ii) Για κάθε T L(R ), (1.3.4) K x, T x dx = α 2 (trt ).

26 14 Βασικες εννοιες Κάθε κεντραρισμένο κυρτό σώμα K στον R έχει μια θέση K που είναι ισοτροπική. Λέμε ότι το K είναι μια ισοτροπική θέση του K. Αποδεικνύεται ότι η ισοτροπική θέση ενός κυρτού σώματος είναι μονοσήμαντα ορισμένη (αν αγνοήσουμε ορθογώνιους μετασχηματισμούς) και ότι προκύπτει σαν λύση ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης. Αν ορίσουμε { } (1.3.5) B(K) = if x 2 2dx : T SL() T K τότε μια θέση K 1 του K είναι ισοτροπική αν και μόνο αν (1.3.6) x 2 2dx = B(K). K 1 Αν K 1 και K 2 είναι δύο ισοτροπικές θέσεις του K τότε υπάρχει U O() ώστε K 2 = U(K 1 ). Η προηγούμενη συζήτηση δείχνει ότι, για κάθε κεντραρισμένο κυρτό σώμα K στον R, η σταθερά (1.3.7) L 2 K = 1 { mi 1 x 2 2dx } T GL() T K 1+ 2 T K είναι καλά ορισμένη και εξαρτάται μόνο από την γραμμική κλάση του K. Επίσης, αν το K είναι ισοτροπικό τότε για κάθε θ S 1 έχουμε (1.3.8) x, θ 2 dx = L 2 K. K Η σταθερά L K ονομάζεται ισοτροπική σταθερά του K. Ενα βασικό ανοικτό πρόβλημα είναι αν υπάρχει ομοιόμορφο άνω φράγμα, ανεξάρτητο από την διάσταση, για τις ισοτροπικές σταθερές όλων των κεντραρισμένων κυρτών σωμάτων. Εικασία (εικασία της ισοτροπικής σταθεράς). Υπάρχει απόλυτη σταθερά C > 0 ώστε (1.3.9) L K C για κάθε 1 και για κάθε κεντραρισμένο κυρτό σώμα K στον R. Ισοδύναμα, αν K είναι ένα ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R τότε (1.3.10) x, θ 2 dx C 2 για κάθε θ S 1. K

27 1.3 Ισοτροπικη θεση ενος κυρτου σωματος 15 Αφετηρία της Εικασίας είναι η λεγόμενη εικασία του υπερεπιπέδου, η οποία ρωτάει αν κάθε κεντραρισμένο κυρτό σώμα όγκου 1 έχει τουλάχιστον μία τομή με ( 1)-διάστατο υπόχωρο η οποία να έχει όγκο μεγαλύτερο από μια απόλυτη σταθερά c > 0. Η σύνδεση γίνεται φανερή από το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα Εστω K ένα ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R. Για κάθε θ S 1 έχουμε (1.3.11) c 1 L K K θ c 2 L K, όπου c 1, c 2 > 0 απόλυτες σταθερές. Από το Θεώρημα γίνεται φανερή η σχέση της εικασίας της ισοτροπικής σταθεράς με την ακόλουθη: Εικασία (εικασία του υπερεπιπέδου). Υπάρχει απόλυτη σταθερά c > 0 με την εξής ιδιότητα: αν K είναι ένα κεντραρισμένο κυρτό σώμα όγκου 1 στον R τότε υπάρχει θ S 1 ώστε (1.3.12) K θ c. Υποθέτουμε ότι η εικασία του υπερεπιπέδου ισχύει. Αν το K είναι ισοτροπικό, το Θεώρημα δείχνει ότι όλες οι τομές K θ έχουν όγκο φραγμένο από c 2 /L K. Αφού η (1.3.12) πρέπει να ισχύει για τουλάχιστον ένα θ S 1, συμπεραίνουμε ότι L K c 2 /c. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι αν υπάρχει απόλυτο άνω φράγμα για την ισοτροπική σταθερά τότε ισχύει η εικασία του υπερεπιπέδου. Ετσι, η εικασία του υπερεπιπέδου ρωτάει, ισοδύναμα, αν υπάρχει απόλυτη σταθερά C > 0 με την ιδιότητα (1.3.13) L := max{l K : K ισοτροπικό στον R } C για κάθε 1. Ο Bourgai απέδειξε στο [14] ότι L c 4 log, και ο Klartag [43] έδωσε το φράγμα L c 4. Μια δεύτερη απόδειξη του φράγματος του Klartag δίνεται στο [44].

28

29 Kefˆlaio 2 Apotelèsmata thc diatrib c 2.1 Klasikèc jèseic kurt swmˆtw Εστω K ένα κυρτό σώμα στον R. Με τον όρο θέση του K εννοούμε κάθε αφινική εικόνα y + T K του K, όπου y R και T GL(). Θα ασχοληθούμε κυρίως με την συμμετρική περίπτωση και τις θέσεις T (K), T GL() ενός συμμετρικού κυρτού σώματος. Στο πλαίσιο της Συναρτησιακής Ανάλυσης δουλεύουμε με μια νόρμα, που έχει το K σαν μοναδιαία μπάλα, και η επιλογή μιας θέσης του K αντιστοιχεί στην επιλογή κατάλληλης Ευκλείδειας δομής στον R. Δηλαδή, η επιλογή μιας θέσης είναι ισοδύναμη με την επιλογη κατάλληλου ελλειψοειδούς. Ενα ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, i=1 όπου {v i } i είναι μια ορθοκανονική βάση του R, και οι α 1,..., α είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί (οι διευθύνσεις και τα μήκη των ημιαξόνων του E, αντίστοιχα). Εύκολα ελέγχουμε ότι E = T (B 2 ), όπου T είναι ο θετικά ορισμένος γραμμικός μετασχηματισμός του R που ορίζεται μέσω των T (v i ) = α i v i, i = 1,...,. Συνεπώς, ο όγκος του E ισούται με (2.1.2) E = ω α i. Αντίστροφα, κάθε σύνολο της μορφής A(B 2 ) με A GL() είναι ελλειψοειδές και έχει όγκο ω det(a). Σε αυτό το κεφάλαιο εισάγουμε τις πιο βασικές κλασικές θέσεις ενός κυρτού σώματος. Μεταξύ αυτών είναι η θέση Joh, η θέση Löwer, η θέση ελάχιστης επιφάνειας και η θέση i=1 α 2 i

30 18 Αποτελεσματα της διατριβης ελάχιστου μέσου πλάτους. Ολες αυτές οι θέσεις προκύπτουν από προβλήματα μεγίστου ή ελαχίστου, και χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι κάποιο μέτρο στη σφαίρα S 1, το οποίο σχετίζεται με το αντίστοιχο κάθε φορά πρόβλημα, είναι ισοτροπικό. Ορισμός Ενα μέτρο Borel µ στην S 1 λέγεται ισοτροπικό αν (2.1.3) x, θ 2 dµ(x) = µ(s 1 ) S 1 για κάθε θ S 1. Θα χρησιμοποιούμε συχνά το παρακάτω λήμμα: Λήμμα Εστω µ ένα μέτρο Borel στην S 1. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Το µ είναι ισοτροπικό. (β) Για κάθε i, j = 1,...,, (2.1.4) φ i φ j dµ(φ) = µ(s 1 ) S 1 δ i,j. (γ) Για κάθε γραμμικό μετασχηματισμό T : R R, (2.1.5) S 1 φ, T φ dµ(φ) = tr(t ) µ(s 1 ). Απόδειξη. Θέτοντας θ = e i και θ = ei+ej 2 στην (2.1.3) παίρνουμε την (2.1.4). Στη συνέχεια, παρατηρώντας ότι αν T = (t ij ) i,j=1 τότε φ, T φ = i,j=1 t ijφ i φ j, ελέγχουμε ότι η (2.1.4) συνεπάγεται την (2.1.5). Τέλος, εφαρμόζοντας την (2.1.5) για την T (φ) = φ, θ θ παίρνουμε την (2.1.3). 2.1αʹ Η θέση Joh και η θέση Löwer Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Συμβολίζουμε με E(K) την οικογένεια των ελλειψοειδών που περιέχονται στο K. Ενα επιχείρημα συμπάγειας δείχνει ότι υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E που περιέχεται στο K και έχει τον μέγιστο δυνατό όγκο. Λέμε ότι το E είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Υποθέτουμε ότι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K είναι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B 2. Θα λέμε ότι το u R είναι σημείο επαφής του K και της B 2 αν u 2 = u K = 1, δηλαδή αν το u είναι κοινό σημείο των συνόρων τους. Το θεώρημα του Joh περιγράφει την κατανομή των σημείων επαφής στη μοναδιαία σφαίρα S 1.

31 2.1 Κλασικες θεσεις κυρτων σωματων 19 Θεώρημα Εστω ότι η B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του συμμετρικού κυρτού σώματος K στον R. Υπάρχουν σημεία επαφής u 1,..., u m του K και της B 2, και θετικοί πραγματικοί αριθμοί c 1,..., c m τέτοιοι ώστε (2.1.6) x = για κάθε x R. m c j x, u j u j j=1 Παρατηρήσεις Το Θεώρημα μας εξασφαλίζει ότι ο ταυτοτικός τελεστής I του R μπορεί να αναπαρασταθεί στην μορφή (2.1.7) I = m c j u j u j, j=1 όπου u j u j είναι η προβολή στην διεύθυνση του u j : (u j u j )(x) = x, u j u j. Σημειώστε ότι από την (2.1.6) για κάθε x R έχουμε (2.1.8) x 2 2 = x, x = m c j x, u j 2. Επίσης, αν επιλέξουμε x = e i, i = 1,...,, όπου {e i } είναι η συνήθης ορθοκανονική βάση R, έχουμε = e i 2 2 = i=1 m m c j e i, u j 2 = i=1 j=1 Από το θεώρημα έπεται ότι j=1 c j j=1 i=1 m m e i, u j 2 = c j u j 2 2 = c j. j=1 j=1 (2.1.9) m c j u j, θ 2 = 1 j=1 για κάθε θ S 1. Με την ορολογία των ισοτροπικών μέτρων, το μέτρο µ στην S 1 που δίνει βάρος c j στο {u j }, i = j,..., m, είναι ισοτροπικό. Με αυτή την έννοια, η θέση Joh είναι μια ισοτροπική θέση. Αντίστροφα (βλέπε [5]) έχουμε: Πρόταση Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R που περιέχει την Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B 2. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα ισοτροπικό μέτρο Borel µ στην S 1 που έχει φορέα τα σημεία επαφής του K και της B 2. Τότε, η B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K.

32 20 Αποτελεσματα της διατριβης Το Θεώρημα και η Πρόταση μας δίνουν τον επόμενο χαρακτηρισμό για τη θέση Joh: Θεώρημα Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R που περιέχει την Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B2. Τότε, η B2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K αν και μόνο αν υπάρχει ένα ισοτροπικό μέτρο µ με φορέα τα σημεία επαφής του K και της B2. Μια πολύ γνωστή συνέπεια του θεωρήματος (που συνήθως αποκαλείται το θεώρημα του Joh) λέει ότι αν K είναι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R και αν E είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, τότε K E. Ο ισχυρισμός αυτός είναι ισοδύναμος με την επόμενη πρόταση. Πρόταση Αν η B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, τότε K B 2. Απόδειξη. Από την αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης (2.1.10) x = m c j x, u j u j j=1 του Θεωρήματος και αφού u j S 1, έχουμε (2.1.11) 1 = u j, u j u j K u j K = u j K, j = 1,..., m. Από την άλλη πλευρά, σε κάθε u j, το K και η B2 έχουν το ίδιο υπερεπίπεδο στήριξης με κάθετο διάνυσμα το u j. Επομένως, για κάθε x K έχουμε x, u j 1, και από την συμμετρία του K, x, u j 1. Επεται ότι u j K = u j K = u j 2 = 1, j = 1,..., m. Εστω x K. Τότε, m m x 2 2 = c j x, u j 2 c j =. j=1 j=1 Αυτό δείχνει ότι x 2. Επομένως, B 2 K B 2. Ενας εναλλακτικός τρόπος ορισμού της θέσης Joh είναι ο εξής: λέμε ότι το K βρίσκεται στην κανονικοποιημένη θέση Joh αν K = 1 και r(k) r(t (K)) για κάθε T SL(). Αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου που εγγράφεται στο K είναι ένα πολλαπλάσιο rb2 της Ευκλείδειας μοναδιαίας μπάλας B2. Το θεώρημα του Joh (Θεώρημα 2.1.6, [41]) παίρνει τώρα την εξής μορφή: το K βρίσκεται στην κανονικοποιημένη θέση Joh θέση αν και μόνο αν B2 r 1 K και υπάρχουν

33 2.1 Κλασικες θεσεις κυρτων σωματων 21 u 1,..., u m bd(r 1 K) S 1 και θετικοί πραγματικοί αριθμοί c 1,..., c m τέτοιοι ώστε ο ταυτοτικός τελεστής να αναπαρίσταται στη μορφή (2.1.12) I = Εχουμε τότε, όπως πριν, την m c j u j u j. j=1 (2.1.13) m c j u j, θ 2 = 1 j=1 για κάθε θ S 1. Ο λόγος όγκων ενός κεντραρισμένου κυρτού σώματος είναι η ποσότητα (2.1.14) vr(k) = mi E {( K / E ) 1/ }, όπου το miimum παίρνεται πάνω από όλα τα 0-συμμετρικά ελλειψοειδή που περιέχονται στο K. Παρατηρήστε ότι αν το K βρίσκεται στην κανονικοποιημένη θέση Joh τότε (2.1.15) vr(k) = ( ) 1/ K r(k)b2 r(k). Ο Ball απέδειξε στο [6] ότι αν το K βρίσκεται στην (κανονικοποιημένη) θέση Joh τότε vr(k) vr(c ) στην συμμετρική περίπτωση και vr(k) vr( ) στη γενική περίπτωση, όπου C είναι ο κύβος όγκου 1 και είναι το κανονικό simplex όγκου 1. Στο τέλος αυτής της παραγράφου θα δούμε μια απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, από το οποίο προκύπτει η αντίστροφη ισοπεριμετρική ανισότητα. Λέμε ότι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα K βρίσκεται στη θέση Löwer αν η B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το K. Ισοδύναμα, αν το πολικό σώμα K του K βρίσκεται στη θέση Joh. Επίσης, θα λέμε ότι το K βρίσκεται στην κανονικοποιημένη θέση Löwer αν K = 1 και υπάρχει λ > 0 τέτοιος ώστε το λk να βρίσκεται στη θέση Löwer. Από το θεώρημα του Joh, το K βρίσκεται στην κανονικοποιημένη θέση Löwer αν και μόνο αν K = 1, K RB2, και υπάρχουν u 1,..., u m bd(r 1 K) S 1 και θετικοί πραγματικοί αριθμοί c 1,..., c m τέτοιοι ώστε το μέτρο µ στη S 1 που έχει φορέα το {u 1,..., u m } και δίνει μάζα c j στο {u j }, j = 1,..., m, είναι ισοτροπικό. Ενας άλλος τρόπος περιγραφής των παραπάνω είναι να απαιτήσουμε ότι το K έχει όγκο 1 και ικανοποιεί την R(K) R(T (K)) για κάθε T SL(). Ο εξωτερικός λόγος όγκων ενός κεντραρισμένου κυρτού σώματος K είναι η ποσότητα (2.1.16) ovr(k) = mi E {( E / K ) 1/ },

34 22 Αποτελεσματα της διατριβης όπου το miimum παίρνεται πάνω από όλα τα 0-συμμετρικά ελλειψοειδή τα οποία περιέχουν το K. Παρατηρήστε ότι αν το K βρίσκεται στην κανονικοποιημένη θέση Löwer τότε ( ) R(K)B 1/ (2.1.17) ovr(k) = 2 R(K). K Μπορεί κανείς να δείξει ότι αν το K βρίσκεται στην (κανονικοποιημένη) θέση Löwer τότε ovr(k) vr(b 1 ) στη συμμετρική περίπτωση και vr(k) vr( ) στη γενική περίπτωση. 2.1βʹ Θέση ελάχιστου μέσου πλάτους Εστω K ένα κυρτό σώμα στον R (χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι 0 it(k)). Υπενθυμίζουμε ότι το μέσο πλάτος w(k) του K είναι η ποσότητα (2.1.18) w(k) = h K (u) dσ(u). S 1 Θα λέμε ότι το K έχει ελάχιστο μέσο πλάτος αν w(k) w(t K) για κάθε T SL(). Το Θεώρημα (βλέπε [32]) δίνει αναγκαίες και ικανές συνθήκες ώστε ένα σώμα K να έχει ελάχιστο μέσο πλάτος. Υποθέτουμε για απλότητα ότι h K είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη (τότε λέμε ότι το K είναι λείο ). Το πρώτο βήμα για την απόδειξη είναι το εξής. Θεώρημα Ενα λείο κυρτό σώμα K στον R έχει ελάχιστο μέσο πλάτος αν και μόνο αν (2.1.19) h K (u), T u dσ(u) = trt S w(k) 1 για κάθε T L(R ). Επιπλέον, αυτή η θέση ελάχιστου μέσου πλάτους είναι μονοσήμαντα ορισμένη modulo ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι το K έχει ελάχιστο μέσο πλάτος. Εστω T L(R ) και ε > 0 αρκετά μικρό. Τότε, ο (I + εt ) /[det(i + εt )] 1/ διατηρεί τους όγκους, και αυτό σημαίνει ότι (2.1.20) h K (u + εt u)dσ(u) [det(i + εt )] 1/ S 1 h K (u)dσ(u). S 1 Αφού h K (u + εt u) = h K (u) + ε h K (u), T u + O(ε 2 ) και [det(i + εt )] 1/ = 1 + ε trt + O(ε 2 ), αφήνοντας το ε 0 + παίρνουμε (2.1.21) S 1 h K (u), T u dσ(u) trt w(k).

35 2.1 Κλασικες θεσεις κυρτων σωματων 23 Αντικαθιστώντας τον T με τον T στην (2.1.21) βλέπουμε ότι πρέπει να έχουμε ισότητα στην (2.1.19) για κάθε T L(R, R ). Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι η (2.1.19) ικανοποιείται και θεωρούμε τυχόντα T SL(). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο T είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Τότε, (2.1.22) w(t K) = h T K (u)dσ(u) = S 1 h K (T u)dσ(u). S 1 Είναι γνωστό ότι το h K (u) είναι το μοναδικό σημείο στο σύνορο του K που το έχει το u σαν εξωτερικό κάθετο διάνυσμα. Ειδικότερα έχουμε h K (u) K, άρα (2.1.23) h K (u), z h K (z) για κάθε z R. Επομένως, από τις (2.1.21),(2.1.22) και (2.1.23) έχουμε S 1 (2.1.24) w(t K) h K (u), T u dσ(u) = trt w(k) w(k). Αυτό δείχνει ότι το K έχει ελάχιστο μέσο πλάτος. Ακόμη, έχουμε ισότητα στην (2.1.24) αν και μόνο αν ο T είναι ο ταυτοτικός τελεστής. Αυτό αποδεικνύει τη μοναδικότητα της θέσης ελάχιστου μέσου πλάτους modulo U O(). Θεωρούμε το μέτρο ν K στην S 1 με πυκνότητα h K ως προς το σ. Θα δείξουμε ότι ένα λείο κυρτό σώμα K έχει ελάχιστο μέσο πλάτος αν και μόνο αν το ν K είναι ισοτροπικό. Εισάγουμε πρώτα κάποιον συμβολισμό: Αν f είναι μια πραγματική ή διανυσματική συνάρτηση, ορισμένη στο R \{0}, τότε γράφουμε f για τον περιορισμό της f στην S 1. Αντίστροφα, αν η F ορίζεται στην S 1, τότε η ακτινική επέκταση f της F στο R \{0} ορίζεται μέσω της f(x) = F (x/ x 2 ). Αν η F είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στην S 1, ορίζουμε (2.1.25) F = ( f) και F = ( f), όπου f είναι η ακτινική επέκταση της F. Ο τελεστής ονομάζεται τελεστής Laplace- Beltrami, ενώ το ονομάζεται κλίση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Gree βλέπουμε ότι (2.1.26) F G dσ = S 1 G F dσ = S 1 F, G dσ. S 1 Λήμμα Εστω K ένα λείο κυρτό σώμα στον R. Ορίζουμε (2.1.27) I K (θ) = h K (u), θ u, θ dσ(u), θ S 1. S 1

36 24 Αποτελεσματα της διατριβης Τότε, (2.1.28) w(k) + I K (θ) = ( + 1) h K (u) u, θ 2 dσ(u) S 1 για κάθε θ S 1. Απόδειξη. Εστω θ S 1. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x, θ 2 /2. Με απλές πράξεις βλέπουμε ότι (2.1.29) ( ˆf)(u) = u, θ θ u, θ 2 u και (2.1.30) ( ˆf)(u) = 1 u, θ 2. Αφού η h K είναι θετικά ομογενής βαθμού 1, έχουμε ( ĥ K )(u) = h K (u) h K (u)u και h K (u) = h K (u), u, u S 1. Από την (2.1.29) έχουμε (2.1.31) ( ˆf)(u), ( ˆ hk )(u) = h K (u), θ u, θ h K (u) u, θ 2. Ολοκληρώνοντας στη σφαίρα και χρησιμοποιώντας τον τύπο του Gree έχουμε (2.1.32) I K (θ) h K (u) u, θ 2 dσ(u) = S 1 h K (u)( ˆf)(u)dσ(u), S 1 που είναι ίσο με (2.1.33) w(k) + h K (u) u, θ 2 dσ(u) S 1 από την (2.1.30). Αυτό αποδεικνύει την (2.1.28). Θεώρημα Ενα λείο κυρτό σώμα K έχει ελάχιστο μέσο πλάτος αν και μόνο αν (2.1.34) h K (u) u, θ 2 dσ(u) = w(k) S 1 για κάθε θ S 1 (ισοδύναμα, αν το ν K είναι ισοτροπικό). Απόδειξη. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η (2.1.19) ισχύει για κάθε T L(R ) αν και μόνο αν (2.1.35) I K (θ) = w(k)

37 2.1 Κλασικες θεσεις κυρτων σωματων 25 για κάθε θ S 1. Το αποτέλεσμα έπεται από το Θεώρημα και το Λήμμα Από τα αποτελέσματα των Figiel-Tomczak, Lewis και Pisier (τα οποία περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο) έπεται ότι αν ένα συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R έχει ελάχιστο μέσο πλάτος, τότε (2.1.36) w(k )w(k) c 1 log(d(x K, l 2 ) + 1) όπου c 1 > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Αν υποθέσουμε ότι K = 1 τότε, γράφοντας τον όγκο του K σε πολικές συντεταγμένες και εφαρμόζοντας την ανισότητα Hölder, παίρνουμε ( ) 1/ ( ) B (2.1.37) w(k ) x 1/ K dσ(x) = 2 c 2, S K 1 άρα w(k) c 3 log(d(xk, l 2 ) + 1). 2.1γʹ Θέση ελάχιστης επιφάνειας Εστω K ένα κυρτό σώμα όγκου 1 στον R. Το επόμενο πρόβλημα ελαχιστοποίησης που συζητάμε είναι να βρεθεί το mi (T (K)) πάνω από όλους τους αφινικούς μετασχηματισμούς T του R που διατηρούν τον όγκο. Το ελάχιστο «πιάνεται» για κάποιον T 0 και θα συμβολίζεται με K (η σταθερά ελάχιστης επιφάνειας της αφινικής κλάσης του K). Λέμε ότι το K έχει ελάχιστη επιφάνεια αν (2.1.38) (K) = K K 1. Το επιφανειακό μέτρο σ K του K ορίστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Εναλλακτικά, μπορούμε να το ορίσουμε στην S 1 αντιστοιχίζοντάς το στό σύνηθες μέτρο Lebesgue του συνόρου του K μέσω της απεικόνισης του Gauss: για κάθε Borel A S 1, έχουμε σ K (A) = ν ({x bd(k) : το εξωτερικό κάθετο διάνυσμα του K στο x ανήκει στο A}), όπου ν είναι το ( 1)-διάστατο μέτρο Lebesgue στο σύνορο του K. Προφανώς έχουμε (K) = σ K (S 1 ). Ενας χαρακτηρισμός της θέσης ελάχιστης επιφάνειας δόθηκε από τον Petty. Θεώρημα Εστω K ένα κυρτό σώμα στον R με K = 1. Τότε, (K) = K αν και μόνο αν το σ K είναι ισοτροπικό. Επιπλέον, αυτή η θέση ελάχιστης επιφάνειας είναι μοναδική modulo ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα ότι αν K είναι ένα κυρτό σώμα στον R με K = 1 και (K) = K, τότε το σ K είναι ισοτροπικό. Πράγματι, έστω R ένας μετασχηματισμός που διατηρεί τον όγκο στον R. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι (2.1.39) ((R 1 ) K) = R(u) 2 dσ K (u). S 1